总章
高中圆锥曲线主要分为了四大部分，圆，椭圆，双曲线，抛物线，因为圆在初中和高中学习中单独学习过且较为简单，本篇就以后三者为核心进行论述展开，从基础知识到题型方法.
基础知识–椭圆
一.定义
<1>动点M到两定点F1和F2距离之和为常数（大于|F1F2|）的点轨迹
<2>动点M与定点F1或F2的值与到准线的值的比值为定值，如MF1/d=e，M的轨迹即为椭圆
<3>已知A(a,0),B(-a,0)，平面一动点M，且KMA*KMB=-b²/a²，M的轨迹即为椭圆
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二.基础推论
(以焦点在x轴为例,P(x0,y0)）
<1>焦半径
f=a+e*x0 g=a-e*x0
<2>准线方程
x=+(-)a²/c
<3>中点弦定理
设AB为椭圆的一条弦，中点为M，则KOM*KAB=-b²/a²
<4>通径
AB为过焦点且垂直于x轴的弦，此弦的长度即是通径2*b²/a
<5>焦点三角形
(1)PF1+PF2=2a,三角形周长为2a+2c
(2)三角形F1F2P的面积为S=b²*tan(θ/2)
(3)离心率e=sin(α+β)/sinα+sinβ
(4)当p在短半轴时θ张角最大，θ≥1-2*e²
<6>4a体(又称为焦长焦比体系）
若∠AF1F2=α，三角形ABF2的周长为4a，所以被叫做4a体。
AF1=b²/(a-cosα*c)
BF1=b²/(a+cosα*c)
AB=2a*b²/(a²-c²*cos²α)
若AF1=λBF1
e*cosα=(λ-1)/(λ+1)
AF1=(λ+1)*b²/2a
e=√(1+k²)*|(λ-1)/(λ+1)|
<7>简单的面积结论
椭圆中内接三角形最大面积为3*√3*ab/4
椭圆中，原点与弦构成的三角形的最大面积为ab/2
基础知识–双曲线
一.定义
<1>动点M到两定点F1和F2距离之差为常数（大于|F1F2|）的点轨迹
<2>动点M与定点F1或F2的值与到准线的值的比值为定值，如MF1/d=e，M的轨迹即为双曲线
<3>已知A(a,0),B(-a,0)，平面一动点M，且KMA*KMB=b²/a²，M的轨迹即为双曲线
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二.基础推论
（以焦点在x轴为例，P(x0,y0))
<1>焦半径
f=a+e*x0 g=-a+e*x0
<2>准线方程
x=+(-)a²/c
<3>中点弦定理
设AB为椭圆的一条弦，中点为M，则KOM*KAB=b²/a²
<4>通径
AB为过焦点且垂直于x轴的弦，此弦的长度即是通径2*b²/a
<5>焦点三角形
(1)|PF1-PF2|=2a
(2)三角形F1F2P的面积为S=b²/tan(θ/2)
(3)离心率e=F1F2/|PF1-PF2|=sin(α+β)/|sinα-sinβ|
<6>小结论
<7>焦长焦比体系
(1)当AB在同一支时，与椭圆的结论一样
(2)当AB在不同支时
AF1=b²/(a+cosα*c)
BF1=b²/(c*cosα-a)
AB=2a*b²/(c²*cos²α-a²)
若BF1=λAF1
e*cosα=(1+λ)/(λ-1)
BF1=(λ-1)b²/(2*a)
基础知识–抛物线
一.定义
平面内一点与定点F和一条定直线l的距离相等的轨迹就是抛物线
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二.基础推论
<1>通径
过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径，长度为2p
<2>焦长焦比体系
AF=p/(1-cosα)
BF=p/(1+cosα)
AB=2p/sin²α
SAOB=p²/2sinα
设AF=λBF
则cosα=(λ-1)/(λ+1),AF=(1+λ)*p/2
cosα=AF/AP=BF/BP
参数方程
一.圆
若圆心为(x0,y0) (0≤θ≤2π)
则 x=x0+r*cosθ
y=y0+r*sinθ
二.椭圆
(0≤θ≤2π)
x=a*cosθ
y=b*sinθ
三.双曲线
x=a*secθ
y=b*tanθ
四.抛物线
x=2pt²
y=2pt
解题通法
直线与曲线联立，得到一个式子，然后通过韦达定理，得出想要的东西，然后再通过转化求出答案
优点：什么题目都可以用，而且只要每一步算对都有步骤分.
缺点：计算十分复杂，容易算错，且浪费时间，在考场上容易浪费时间.
引申做法
一.齐次化
方法
<1>把坐标原点O(0,0)平移到P(x0,yo),则P成为了新的坐标原点
<2>构造：写出新的椭圆方程C′，LAB直线设为mx+ny=1
<3>联立：将LAB与C′联立构造齐次方程
<4>求值：求出k1*k2和k1+k2，根据题目进行下一步求解
（简单类题目直接一次齐次化就可以求出答案，通常是让求斜率关系，较难的通过斜率关系再进行下一步求解）
以下是证明方法
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二.共轭中心弦
定理
设A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆x²/a²+y²/b²=1上
<1>当且仅当KAO*KBO=-b²/a²时，三角形OAB面积最大为ab/2
<2>此时满足x1²+x2²=a²,y1²+y2²=b²,OA²+OB²=a²+b²
<3>动点P满足OP(向量)=λOA(向量)+μOB(向量)，且动点P在椭圆上，λ²+μ²=1
(通常用来针对λ和μ同时出现且有关向量的题目，用结论之前要进行证明，也可以用联立后直接写答案）
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三.共焦点问题
注：此类题目只会出现于小题之中，所以直接背结论即可，并且特指椭圆和双曲线共焦点
结论：sin²(α/2)/e²(椭圆)+cos²(α/2)/e²(双曲线)=1
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四.极点极线
设点M(x0,y0),若M在圆锥曲线上，则做出的极线即为切线，若在圆锥曲线外部，则做出的直线为两条切线与圆锥曲线的交点的连线，若一个为A，另一个为B，即为AB.
圆:若圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=R²,则极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-a)(y-a)=R²
椭圆:若椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1，则极线方程为x*x0/a²+y*y0/b²=1
双曲线:若双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1，则极线方程为x*x0/a²-y*y0/b²=1
抛物线:若抛物线的方程为x²=2py,则极线方程为x*x0=p(y+y0)
二级结论
<1>M是椭圆外一点，N是M所对应的极线上的一点，直线MN交椭圆于EF两点，则XM*XN=XE²=XF²,且ME/MF=NE/NF
<2>
P所对应的极线为MN，M所对应的极线为NP,N所对应的极线为MP，我们把PMN成为自极三点形，也叫做调和点.+
PH/PG=MH/MG
<3>若无P，即只有MN，则M和N互为所对应极线上的点，且k相等，若M或N为(x0,y0),则k可以直接求出.
若为椭圆，k=-b²x0/a²y0
若为双曲线，k=b²x0/a²y0
若为抛物线，k=p/y0
若k不存在，则OM*ON=a²
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五.定比点差
什么时候使用？
<1>向量之积为定值
<2>求λ+μ，或者求λ(μ)范围
<3>蝴蝶模型
存在AP(向量)=λPB(向量)，则存在一点Q，使AQ(向量)=-λQB(向量)
XP=(XA+λXB)/(1+λ) XQ=(XA-λXB)/(1+λ)
YP=(YA+λYB)/(1+λ) YQ=(YA-λYB)/(1+λ)
然后再用极点极线求出XQ或YQ，然后反求出AB对应的坐标
XA=(XP+XQ)/2+λ*(XP-XQ)/2
XB=(XP+XQ)/2+(XP-XQ)/2λ
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六.三角代换
一般应用于双动点或多动点问题
椭圆x²/a²+y²/b²=1，设A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2) [利用参数方程设点]
设t=tan(θ/2)
则利用半角公式可以得出cosθ=(1-t²)/(1+t²),sinθ=2t/(1+t²)
则可以表达出来AB的坐标，得出直线AB的两点式
b(1-t1t2)x+a(t1+t2)y=ab(1+t1t2)
双曲线x²/a²-y²/b²=1，设A(a/cosθ1,btanθ1),B(a/cosθ2,btanθ2) [利用参数方程设点]
设t=tan(θ/2)
则利用半角公式可以得出cosθ=(1-t²)/(1+t²),tanθ=2t/(1-t²)
则可以表达出来AB的坐标，得出直线AB的两点式
b(1+t1t2)x-a(t1+t2)y=ab(1-t1t2)
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七.仿射
一般常用于椭圆转化成圆，双曲线转化成反比例函数(比较少)
椭圆x²/a²+y²/b²=1，
令x=x′ , y=by′/a , 则可以把椭圆方程转化为x′²+y′²=a²
性质
<1>若再原椭圆中K1*K2=-b²/a²,则在圆中K1′*K2′=-1
<2>S原=bS′/a
<3>注意：线段的乘积不能使用
这是大部分知识的总结帖子，如果有其他的欢迎补充，qq2924465428
画图工具GeoGebra
如果想看更多的花里胡哨的二级结论，可以去进行自我推导
