总章
数列是高中必考知识点之一，小题大题皆有可能，并且涉及的知识和思想很多，我会以基本知识，拓展知识和思路为三路进行论述.
基本知识
知识一：等差等比基础知识
知识二：两个常用公式
1²+2²+…+n²=n*(n+1)*(2n+1)/6
1³+2³+…+n³=(n*(n+1)/2)²
知识三：性质
<1>等差
若an，bn为等差数列，且前n项和为Sn,Tn，则am/bn=S2m-1/T2m-1
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S2n-1=(2n-1)*an
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若数列a2n-1,a2n,a2n+1为等差数列，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列，公差为n²d (an公差为d）
<2>等比
若Sn=Aq^n+B为等比数列前n项和，则A+B=0
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若Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为等比数列，则公比为q^n
常见题型
一.求通项
根本思路：构造差分
<1>待定系数法
形如 an+1=pan+qn+b,则可以构造成an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),打开以后求A，B
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形如an+1=pan+q^n,则可以构造成an+1/p^(n+1)=an/p^n+q^n/p^(n+1)，化简求出
<2>不动点法
形如an+1=(Aan+B)/(Can+D),且C≠0，则可以视为x=(Ax+B)/(Cx+D)，然后解出x
若有两个解，分别为p,q，则有（an-p)/(an-q)=k(an-1-p)/(an-1-q),k=(A-pc)/(A-qc),这样就可以得到数列(an-p)/(an-q)的递推公式，然后再去推an的递推公式.
若有一个解，为p，则1/(an-p)-1/(an-1-p)=k,k=2c/A+D,这样就可以得到数列1/(an-p)的递推公式，然后再去推an的递推公式.
<3>取倒数法
与不动点法的形式相似，本质上是B=0的情况，通过取倒数得到1/an+1与1/an的关系，求出1/an的递推公式，则an的递推公式就出来了.
<4>累加法累积法
即出现了形如an-an-1,an-1-an-2…a2-a1的式子，则是累加法，形如an/an-1,an-1/an-2…a2/a1的式子，则是累乘法.
<5>待定系数法plus
形如an+2=pan+1+qan的数列,其特征方程为x^2=px+q…①
若①有二异根αβ,则可令an=C1α”+C2β”(C1,C2是待定常数)
若①有二重根α=β,则可令an=(C1+nC2)α“(C1,C2是待定常数)
再利用a1=m1,a2=m2,可求得C1,C2,进而求得an·
<6>猜想法
啥也不会的情况下，用已知的式子把a1，a2,a3等等求出来，然后把递推公式猜出来.（）
二.求和
<1>裂项相消
条件：分式可以拆开且分母n为临项或者隔项（指的是n，比如n和n+1）
常用公式
列项之后就是相消，即把有相同的消掉，最后的就是答案，有可能和放缩联系在一起.
<2>错位相减
若数列an为等差数列，bn为等比数列（等比为q），则cn=an*bn为差比数列，通常求cn的前n项和，则用Sn-Sn*q，注意写的时候格式前三后四！！！！
难点
知识点一：鸡偶数列.
<1>跳跃等差
形如an+2-an=d的形式，直接用待定系数法，令an=xn+y+z(-1)^n,其中x=d/2，带入n=1,n=2求出y和z.
若为an+1+an=f(n),构造以上形式，就可以解出.
<2>跳跃等比
形如an+2/an=q的形式，则要分鸡偶，
n为奇数，则n=2k-1,于是an=a1*q^((n-1)/2)
n为偶数，则n=2k,于是an=a2*q^((n-2)/2)
若an+2*an+1=f(n)
直接用待定系数法an=q^(xn+y+z(-1)^n),x=A/2,y=(2B-A)/4
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知识点二：二阶等差
在数列an中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即a2-a1,a3-a2…an-an-1…为一个等差数列，则成数列an为二阶等差数列，记d1=a2-a1,d2=(an+1-an)-(an-an-1)，
其通项公式为an=a1+(n-1)d1+(n-1)(n-2)d2/2，
Sn=na1+n(n-1)d1/2+n(n-1)(n-2)d2/6.
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知识点三：放缩
<1>括号内放缩
1/n-1/(n-1)=1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
a^n/(a^n-1)²=a^n/(a^n-1)*(a^n-1)<a^n/(a^n-1)*(a^n-a)=a^(n-1)/(a^n-1)*(a^(n-1)-1)=(1/a-1)*(1/a^(n-1)-1-1/a^n-1)
<2>括号外放缩
<3>糖水不等式
若b>a>0,m>0,则(a+m)/(b+m)>a/b
若b>a>m>0,则(a-m)/(b-m)<a/b
例如1/3^n-1<2/3^n
整体思路
以构造差分为主去求递推公式，求和大题以判断是哪种类型的为主，从而去使用对的方法，优先推荐利用已知式子把an的前五项求出来，然后先猜出大概的规律，小题能不算就不算，20之内的都可以一个一个硬算出来，不要嫌麻烦，把特殊的构造公式记住，快速匹配写上去。要对放缩类题目敏感，比如遇到了n次项和常数结合的式子，可以尝试放缩化简.
核心思想永远都是差分！！！
这是大部分知识的总结帖子，如果有其他的欢迎补充，qq2924465428
借鉴了 MST组织内容
