前言

快要放假回家了，可能要继续当家教，为了手不生，写一点题练练，高考卷做了，复现一下，挖一下有没有什么含义。

题目

8——单选压轴

task

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时，f(x)=x,
则下列结论中一定正确的是()
A.f(10)>100
B.f(20)>1000
C.f(10)<1000
D.f(20)<10000

答案：B

思路

f(1)=1
f(2)=2
后面的规律应该很简单，就是推经典的斐波那契数列(Fibonacci)变形？
原式子是f(x)=f(x-1)+f(x-2),x>3。
所以只需要一个一个带出来就可以了。
感觉不算是压轴题

11——多选压轴

task

11.造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O,且C上的点满足：
横坐标大于-2；到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则()
A.a=-2
B.点(2√2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D当点（x0,y0）在C上时，y0≤4/(x0+2)

答案：ABD

思路

图像原型
(x+2)√[(x-2)²+y²]=4
A.过原点，那么a=-2
B.设曲线上面任意一点(x,y),把(2√2,0)带入发现满足即可
C.把y=1带入图像式子，化简，得到了x**4-7x**2+4x+4=0，再化简,(x-2)(x**3+2x**2-3x-2)=0，
那么就是在问你，在第一象限中，(x**3+2x**2-3x-2)=0是否能成立，显然可以，那么C错误。
D.直接将y**2=f(x)的式子放缩就可以得到了
出题感觉是基于椭圆曲线的抛物线？

14——填空压轴

task(简化版)

Alice 拥有 $1,3,5,7$ 四张卡片，Bob 拥有 $2,4,6,8$ 四张卡片，
每轮游戏两人随机在自己的卡片中抽取一张，数字大的加一分，然后扔掉各自的卡片。
问四轮后 Alice 得分不小于 $2$ 的概率。

答案：0.5

思路

有点像是acm中的博弈论？或者是贪心？
直接思考全部的局面数，就是(4!)²=576,
直接想满足题干的情况。
如果拿了三分，就是很经典的田忌赛马(3->2,5->4,7->6,1->8),那么就是4!种情况。
如果拿了两分
1.用3，5，那就是(3->2,5->4,7->8,1->6),就是4!种情况。
2.用3，7，那就是(3->2,7->?,1<-?,3<-?),就是3*4!种情况。
3.用5，7，那就是$(\mathrm{5->2},\mathrm{7->4},\mathrm{1<-}?,\mathrm{3<-}?)，2!*4!$
               $(\mathrm{5->2},\mathrm{7->6},\mathrm{1<-}?,\mathrm{3<-}?)，2!*4!$
               $(\mathrm{5->4},\mathrm{7->2},\mathrm{1<-}?,\mathrm{3<-}?)，2!*4!$
               $(\mathrm{5->4},\mathrm{7->6},\mathrm{1<-}?,\mathrm{3<-}?)，4!$
   那么就得到答案了
感觉这个方法有点麻烦，可以看看官方的。

19——新定义压轴

task

设 m 为正整数，数列 $a_1,a_2,\dots ,a_{4m+2}$是公差非零的等差数列，
若从中删去两项  后剩余的 项可被均分为  组且每组的四个数构成等差数列，则称数列是 $(i,j)$可分数列。
(1)  时写出所有的 $(i,j)$使得该数列 $(i,j)$可分。
(2) $m\ge 3$时，证明该数列是 $(2,13)$可分数列。
(3) 从 $1\sim 4m+2$中任取两个数 $i<\mathrm{j，}$求证该数列为 $(i,j)$可分数列的概率 P${}_m>\frac{\mathrm{1/8}}{}$。

思路

(1)很简单的想法，a1到a6,去头去尾两边一起去即可，就是(1,2)(5,6)(1,6)

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(2)去掉(2,13)影响的只有前14项，那么现在只剩下12项，只要分成三组就行了，其实很简单的想法，让1和14避开2和13的影响即可，
   那么就可以得到(1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)

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(3)首先想到四个一组，那么就是m组+2
第一种情况：
我们随意去拿两组，删去一组的第一项，删去二组的第二项，那么不就是删去了4i+1,4j+2,那么就会把整个数列分成三段，
每一段长度都是4的倍数，一共就是(m²+3m)/2种情况。
第二种情况：
删除4i+2,4j+1,那么就是前后正常分，两项之间需要讨论情况。
如果j-i=1,不行
如果j-i>1，那么公差就是j-i，证明很简单，情况就是(m²-m)/2
最后算概率

具体参考https://blog.csdn.net/math345/article/details/139558066

总结

除了新定义的难度，其他的感觉不如23年，新定义感觉更像是数论加数列，适合oi✌和竞赛✌的体质，像是余数分组。

感觉以后的高考生如果想考的更高，应该学学数论了。